BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Dalam era informasi dan era
globalisasi dewasa ini yang diwarnai oleh persaingan yang ketat dalam
penguasaan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), sangat membutuhkan
manusia-manusia cerdas, terampil dan profesional yang sanggup menguasai sains
dan teknologi. Soedjadi (1994 : 1) mengemukakan bahwa untuk menghadapi abad 21
diperkirakan akan diwarnai oleh persaingan, bangsa Indonesia mutlak perlu
memiliki warga yang bermutu dan berkualitas tinggi.Dalam upaya pengembangan kualitas
manusia Indonesia, patokan minimal yang harus dicapai adalah tumbuhnya
kemampuan berpikir logis dan sikap kemandirian dalam diri peserta didik. Untuk
itu, sistem pembelajaran yang mengutamakan matematika dan ilmu pengetahuan
lainnya menjadi prasyarat bagi proses pendidikan untuk membentuk manusia
Indonesia yang mampu menghadapi dan mengantisipasi tantangan di masa yang akan
datang (Semiawan, 1991 : 35).
B.
Rumusan Masalah
A. Sistem Persamaan Linier
B. Sistem Persamaan Kuadrat
C. Sistem Persamaan Linier 2 Variabel
D. Penerapan dari Sistem Perasamaan
Linier, Sistem Persamaan Kuadrat dan Sistem Persamaan Linier 2 Variabel
C.
Tujuan
Menguraikan Penerapan dari Sistem Perasamaan Linier, Sistem
Persamaan Kuadrat dan Sistem Persamaan Linier 2 Variabel
BAB II
PEMBAHASAN
A. SISTEM PERSAMAAN LINIER
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian
konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan
matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat
Kartesius.
Contoh grafik dari suatu persamaan linear dengan nilai m=0,5
dan b=2 (garis merah)
Bentuk umum untuk persamaan linear adalah
Dalam hal ini, konstanta m akan
menggambarkan gradien garis, dan konstanta b merupakan titik potong garis
dengan sumbu-y. Persamaan lain, seperti x3, y1/2,
dan
bukanlah persamaan linear.
Contoh
Contoh sistem persamaan linear dua
variabel:
,
,
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear yang rumit, seperti di sebut di atas, bisa
ditulis dengan menggunakan hukum aljabar agar menjadi bentuk yang lebih
sederhana. Seperti contoh, huruf besar di persamaan merupakan konstanta, dan x
dan y adalah variabelnya.
Bentuk Umum
dimana konstanta A dan B bila dijumlahkan, hasilnya bukan
angka nol. Konstanta dituliskan sebagai A ≥ 0, seperti yang telah
disepakati ahli matematika bahwa konstanta tidak boleh sama dengan nol. Grafik
persamaan ini bila digambarkan, akan menghasilkan sebuah garis lurus dan setiap
garis dituliskan dalam sebuah persamaan seperti yang tertera diatas. Bila A
≥ 0, dan x sebagai titik potong, maka titik koordinat-xadalah ketika
garis bersilangan dengan sumbu-x (y = 0) yang digambarkan dengan rumus -c/a.
Bila B≥ 0, dan y sebagai titik potong, maka titik koordinat- y
adalah ketika garis bersilangan dengan sumbu-y (x = 0), yang digambarkan
dengan rumus -c/b.
Bentuk standar
Di mana, a dan b jika dijumlahkan, tidak
menghasilkan angka nol dan a bukanlah angka negatif. Bentuk standar ini dapat
diubah ke bentuk umum, tapi tidak bisa diubah ke semua bentuk, apabila a
dan b adalah nol.
Bentuk titik potong gradient
Sumbu-y
Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan titik
koordinat y adalah persilangan dari sumbu-y. Ini dapat
digambarkan dengan x = 0, yang memberikan nilai y = b. Persamaan
ini digunakan untuk mencari sumbu-y, dimana telah diketahui nilai dari
x. Y dalam rumus tersebut merupakan koordinat y yang anda taruh
di grafik. Sedangkan X merupakan koordinat x yang anda taruh di
grafik.
Sumbu-x
Dimana m merupakan gradien dari garis persamaan, dan c
adalah titik potong-x, dan titik koordinat x adalah persilangan
dari sumbu-x. Ini dapat digambarkan dengan y = 0, yang memberikan
nilai x = c. Bentuk y/m dalam persamaan sendiri berarti bahwa
membalikkan gradien dan mengalikannya dengan y. Persamaan ini tidak
mencari titik koordinat x, dimana nilai y sudah diberikan.
B. PERSAMAAN KUADRAT
Persamaan kuadrat adalah persamaan yang mempunyai bentuk
umum sebagai berikut :
ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dan a, b, c Ñ” R
Perhatikan beberapa fungsi kuadrat berikut ini:
a. f(x) = 3x2 + 2x + 5
b. f(x) = 2x2 + 3x
c. f(x) = x2 – 4
Jika semua fungsi kuadrat di atas bernilai nol, atau f(x) =
0, maka fungsi kuadrat tersebut menjadi
1. 3x2 + 2x + 5 = 0
2. 2x2 + 3x = 0
3. x2 – 4 = 0
Fungsi kuadrat yang demikian disebut persamaan kuadrat.
Contoh :
1. Persamaan kuadrat lengkap
2x2 – 3x + 4 = 0 dan x2
– x – 1 =0
2. Persamaan kuadrat tidak
lengkap
3x2 + x = 0, x2
– x = 0, dan –x2 – 25 = 0
1.
Menyelesaikan
Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Persamaan kuadrat ax2 +
bx + c = 0, setelah difaktorkan, misalnya diperoleh
(x – x1) (x – x2)
= 0
↔ x = x1 atau x = x2
Dalam hal ini x1 atau x2
merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas. Hal tersebut
menggambarkan suatu ketentuan bahwa (x – x1) (x – x2) = 0
dipenuhi oleh x = x1 atau x = x2
Contoh :
Tentukan penyelesaian sistem
persamaan kuadrat 2x2 + 6x = 0 dengan memfaktorkan !
Penyelesaian :
2x2 + 6x = 0
↔ 2x (x + 3) = 0
↔ 2x = 0 atau x + 3 = 0
↔ x = 0 atau x = -3
Jadi penyelesaian persamaan tersebut
adalah x1 = 0 atau x2 = -3
2.
Bentuk
Kuadrat Sempurna
Contoh kuadrat sempurna dua pusat x
antara lain x2, 4x2, 9x2, 16x2, 25x2,
(9x + 3)2 dan (x – 4)2.
Selanjutnya kita pelajari cara
menyelesaikan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk (x + p)2
= q dengan q ≥ 0, yaitu persamaan kuadrat yang ruas kirinya merupakan kuadrat
sempurna. Contoh :
1. x2 – 9 = 0
↔ x2 = 9
↔ x = ± √9
↔ x = ± 3
↔ x = 3 atau x = -3
Jadi penyelesaian persamaan tersebut
adalah x1 = 3 atau x2 = -3
3.
Menyelesaikan
Persamaan Kuadrat dengan Menggunakan Rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat
ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c Ñ” R dan x Ñ” R , dengan b2
– 4ac ≥ 0 Rumus ini disebut rumus abc.
Catatan:
Sebelum memakai rumus abc, persamaan
kuadrat harus dinyatakan dalam bentuk baku yaitu: ax2 + bx + c = 0,
jika b2 – 4ac < 0, maka tidak ada penyelesaian untuk ax2
+ bx + c = 0.
Contoh:
Dengan menggunakan rumus abc
tentukan penyelesaian dari x2 – x – 6 = 0, dengan x peubah pada
bilangan real !
Penyelesaian:
x2 – x – 6
a = 1, b = 1, c = -6
atau
Jadi x1 = -3 atau x2
= 2
Catatan :
1. Jika nilai b2 – 4ac >
0 maka x memiliki dua nilai real yang berlainan
2. Jika nilai b2 – 4ac = 0
maka x memiliki satu nilai real
3. Jika nilai b2 – 4ac <
0 maka x tidak memiliki nilai real.
C.
PERSAMAAN
DUA VARIABEL
Sebelum mempelajari Persamaan Dua Variabel tentunya kita
sudah ingat tentang persamaan Linier Satu Variabel (PLSV). PLSV adalah
persamaan yang memuat satu variabeldan pangkat dari variabelnya adalah satu.
Nah sekarang coba kita ingat kembali bahwa persamaan garis
lurus pada bidang cartesiusdapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a,
b, c konstanta real dengan a, b 0 dan x, y adalah variabel
pada himpunan bilangan real.
Sekarang perhatikan persamaa x + 4y = 8, memiliki dua
variabel yaiti x dan y serta masing-masing variabel berpangkat satu.
Jadi kesimpulannya adalah Persamaan Linier Dua Variabel
adalah suatu persamaan yang mempunyai dua variabel dan masing-masing variabel
berpangkat satu, dan dapat dinyatakan dalam bentuk : ax + by = c dengan a, b, c
R, a, b 0 dan x, y suatu variabel.
Beberapa contoh PLDV
1.
3x
+ 6y = 12
2.
5p
– 3q + 30 = 0
1.
Menentukan
Penyelesaian Persamaan Linier Dua Variabel
Perhatiakan persamaan x + y = 7.
Persamaan x + y = 7 masih merupakan kalimat terbuka , artinya belum mempunyai
nilai kebenaran. Jika x diganti bilangan 2, maka nilai y yang memenuhi adalah
5, karena pasangan bilangan (2,5) memenuhi persamaan tersebut, maka persamaaan
x + y = 7 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan bahwa (2,5)
merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 7.
Untuk mencari nilai x dan y yang
memenuhi persamaan x + y = 7 akan lebih mudah dengan membuat table seperti
berikut :
|
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
Y
|
7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
|
|
(x,y)
|
(0,7)
|
(1,6)
|
(2,5)
|
(3,4)
|
(4,3)
|
(5,2)
|
Jadi HP dari persamaan x + y = 7
adalah (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2). Gambar grafik persamaan
x + y = 7 pada bidang cartesius tampak seperti gambar grafik lihat lampiran
gambar grafik 1.1
2.
Sistem
Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
(SPLDV) terdiri atas dua persamaan linier dua variabel, yang keduanya tidak
berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan hanya memiliki satu penyelesaian
Berikut ini beberapa contoh SPLDV :
1.
x
+ y = 3 dan 2x 3y = 1
2.
5x
+ 4y + 7 = 0 dan -3x 2y = 4
Menentukan Himpunan Penyelesaian
SPLDV
Himpunan penyelesaian SPLDV dapat di
selesaikan dengan 3 cara, yaitu :
1.
Dengan
cara metode grafik.
2.
Dengan
cara metode substitusi.
3.
Dengan
cara metode eleminasi.
Himpunan penyelesaian SPLDV dengan
metode grafik
Pada metode grafik, himpunan
penyelesaian dari SPLDV adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika
garis-garisnya tidak berpotongan di satu titik, maka himpunana penyelesaiannya
adalah himpunan kosong.
Untuk menentukan himpunan penyelesaian
SPLDV dengan cara metode grafik langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1.
Menggambar
garis dari kedua persamaan pada bidang cartesius.
2.
Koordinat
titik potong dari garis merupakan himpunan penyelesaian, jika kedua garis tidak
berpotongan (sejajar), maka SPLDV tidak mempunyai penyelesaian.
Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan
Metode Substitusi
Pada metode substitusi terlebih
dahulu kita menyatakan variabel yang satu kedalam variabel yang lain dari suatu
persamaan, kemudian menggantikan variabel itu dalam persamaan yang lain.
Untuk menentukan himpunan
penyelesaian SPLDV dengan cara metode substitusi langkah-langkahnya adalah
sebagai berikut :
1.
Menyatakan
variabel dalam variabel lain, misal menyatakan x dalam y atau sebaliknya.
2.
Mensubstitusikan
persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain.
3.
Mensubstitusikan
nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu persamaan
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y = 4 dan
3x + 2y = 12
x + 2y = 4 kita nyatakan x dalam y, diperoleh : x = 4
2y substitusikan x = 4 2y ke persamaan 3x + 2y = 12
3 ( 4 2y ) + 2y = 12
12 6y + 2y = 12
4y =
12 12
y = 0
Substitusikan y = 0 ke persamaan x = 4 2y
x = 4 2y
x = 4 2 . 0
x = 4
Jadi HP ( 4, 0 )
Himpunan Penyelesaian SPLDV dengan
metode Eleminasi
Pada metode eleminasi untuk
menentukan himpunan penyelesaian dari SPLDV, caranya dengan menghilangkan salah
satu variabel dari system persamaan tersebut. Pada cara eleminasi koefisien
dari variabel harus sama atau dibuat menjadi sama.
Untuk menentukan himpunan
penyelesaian SPLDV dengan cara metode eleminasi langkah-langkahnya sebagai
berikut :
1.
Nyatakan
ke dua persamaan ke bentuk ax + by = c
2.
Samakan
koefisien dari variabel yang akan di hilangkan, melalui cara mengalihkan dengan
bilangan yang sesuai.
3.
Jika
koefisien dari variabel bertanda sama ( sama positif atau negative ) maka
kurangkan ke dua persamaan tersebut.
4.
Jika
koefisien dari variabel yang di hilangkan tandanya berbeda ( positif atau
negative ) maka jumlahkan kedua persamaan tersebut.
D.
PENERAPAN
SISTEM LINIER, KUADRAT DAN DUA VARIABEL
1.
Persamaan
Linier
Contoh Soal 1
Asep membeli 2 kg mangga dan 1 kg apel dan ia harus membayar
Rp15.000,00, sedangkan Intan membeli 1 kg mangga dan 2 kg apel dengan harga
Rp18.000,00. Berapakah harga 5 kg mangga dan 3 kg apel?
Penyelesaian:
Kita misalkan harga 1 kg mangga = x dan harga 1 kg apel = y,
maka:
2x + y = 15000
x + 2y = 18000
Selanjutnya,
selesaikan dengan menggunakan salah satu metode penyelesaian, misalnya dengan metode
cepat, maka:
=> y = (2 . 18000 – 15000.1)/(2.2
– 1.1)
=> y = (36000 – 15000)/(4 – 1)
=> y = 21000/3
=> y = 7000
Substitusi nilai y = 7000 ke
persamaan 2x + y = 15000, maka:
=> 2x + y = 15000
=> 2x + 7000 = 15000
=> 2x = 8000
=> x = 4000
Dengan
demikian, harga 1 kg mangga adalah Rp4.000,00 dan harga 1 kg apel adalah
Rp7.000,00.
Harga 5 kg mangga dan 3 kg apel
adalah:
= 5x + 3y
= 5.4000 + 3.7000
= 20000 + 21000
= 41000
Jadi, harga 5 kg mangga dan 3 kg
apel adalah Rp 41.000,00
2.
Persamaan
Kuadrat
Contoh 1: Menyelesaikan Penerapan Persamaan Kuadrat
Seorang anak
berdiri di atas tebing yang memiliki ketinggian 5 m dari permukaan tanah,
melempar bola ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s (anggap bola dilepaskan
ketika berada 1 m di atas permukaan tebing di mana anak tersebut berdiri).
Tentukan (a) tinggi bola setelah 3 detik, dan (b) waktu yang dibutuhkan agar
bola tersebut sampai di permukaan tanah
Pembahasan
Dengan menggunakan informasi yang diberikan soal, kita memperoleh h = –5t2
+ 20t + 6. Untuk menentukan tinggi bola setelah 3 detik, substitusikan t
= 3 ke dalam persamaan tersebut.
Apabila bola sampai di
permukaan tanah, maka ketinggian bola tersebut adalah 0 meter. Sehingga dengan
mensubstitusi h = 0 diperoleh,
Karena waktu
tidak pernah negatif, maka waktu yang diperlukan agar bola tersebut sampai di
permukaan tanah adalah 4,28 detik.
3.
Dua
Variabel
Contoh soal:
1. Dua tahun yang lalu seorang laki-laki
umurnya 6 kali umur anaknya. 18 tahun kemudian umurnya akan menjadi dua kali
umur anaknya. Carilah umur mereka sekarang!
Penyelesaian:
Misalkan
umur ayah sekarang x tahun dan umur anaknya y tahun, maka
x – 2 = 6( y – 2 )
x – 6y = -10………… (1)
x + 18 = 2(y + 18 )
x – 2y = 18 ………… (2)
dari
persamaan (1) dan (2) diperoleh
x – 6y = -10
x – 2y = 18 –
-4y = – 28
y = 7
subtitusikan nilai y = 7 ke dalam
persaman x – 2y = 18, maka diperoleh
x – 2(7) = 18
x – 14 =18
x = 32
jadi, sekarang umur ayah 32 tahun
dan anaknya berumur 7 tahun.
2. Keliling sebidang tanah yang
berbentuk persegi panjang adalah 48 m. panjangnya lebih 6 meter dari lebarnya.
Tentukan ukuran tanah itu!
Penyelesaian
Misalnya panjang dan lebar tanah itu
adalah x m dan y m.
Keliling = 2( panjang + lebar)
48 = 2(x + y) atau x + y = 24
……….(1)
x = y + 6 atau x – y = 6 ……….(2)
dari persamaan (1) dan (2) dapat
diperoleh
x + y = 24
x – y = 6 –
2x = 30
x = 15
subtitusikan x = 15 ke dalam
persamaan x + y = 24, sehingga diperoleh
15 + y = 24
y = 24 – 15
y = 9
jadi, ukuran tanah itu adalah 15 m x
9 m.
3. Harga sebuah buku dan sebuah pensil
RP 5.500,- harga 2 buku dan 3 buah pensil RP 12.500,-.
a.
Nyatakan kalimat diatas dalam bentuk persamaan dengan peubah x dan y!
b.
Selesaikan persamaan itu!
c. Tentukan
harga 4 buah buku dan 3 buah pensil!
Penyelesaian:
a.
Misalkan harga sebuah buku = x,rupiah
Harga sebuah pensil =y, rupiah
Maka persamaan dalam x dan y adalah
x + y = 5.500 …..(1)
2x + 3y = 12.500 …..(2)
b.
Menyelesaikan persamaan diatas dengan disubtitusikan
x + y = 5.500
x = 5.500 – y
subtitusikan x = 5.500 – y ke
persamaan 2
untuk x = 5.500 – y → maka 2x + 3y =
12.500
2(5.500 – y) + 3y = 12.500
11.000 – 2y + 3y = 12.500
11.000 + y = 12.500
y = 12.500-11.000
y = 1.500
subtitusikan y = 1.500 ke persamaan
x = 5.500 – y
x = 5.500 – 1.500
x = 4.000
jadi nilai
x dan y adalah Rp. 4.000 dan Rp. 1.500
c. Harga 4
buah buku dan 3 buah pensil
= 4x + 3y
=
4(Rp.4.000,-) + 3(Rp. 1.500,-)
= Rp.
16.000,- + Rp. 4.500,-
= Rp.
20.500,-
Jadi, harga 4 buah buku dan 3 buah
pensil adalah Rp. 20.500,-
BAB
III
KESIMPULAN
Persamaan linear adalah sebuah persamaan aljabar, yang tiap sukunya mengandung konstanta, atau perkalian
konstanta dengan variabel tunggal. Persamaan ini dikatakan linear sebab hubungan
matematis ini dapat digambarkan sebagai garis lurus dalam Sistem koordinat
Kartesius.
Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat
(SPKK) adalah
kumpulan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi yang sama.
Untuk menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dan kuadrat, kita harus
menguasai tentang nilai "Diskriminan". Nilai Diskriminan suatu fungsi kuadrat atau persamaan kuadrat dapat
ditentukan dengan rumus D=b2−4ac
Persamaan Linier Dua Variabel adalah suatu persamaan yang
mempunyai dua variabel dan masing-masing variabel berpangkat satu, dan dapat
dinyatakan dalam bentuk : ax + by = c dengan a, b, c R, a, b 0 dan
x, y suatu variabel.
DAFTAR
PUSTAKA
https://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan_linear
https://b3sm4rt.wordpress.com/2010/12/30/persamaan-kuadrat/
DAFTAR
ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
B.
Rumusan
Masalah
C.
Tujuan
BAB II PEMBAHASAN
A.
Sistem
Persamaan Linier
B.
Sistem
Persamaan Kuadrat
C.
Sistem
Persamaan Linier Dua Variabel
D.
Penerapan
Sistem Linier, Kuadrat Dan Dua Variabel
BAB III KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
MAKALAH
PENERAPAN SISTEM LINIER, KUADRAT DAN DUA
VARIABEL
OLEH
NAMA KELOMPOK
v DENI PANTAMA
v M. ABDUL AZIZ
v L. AGAM
v ERNI SUKMA
