MAKALAH MATEMATIKA
“PELUANG”
Disusun oleh :
NAMA : NIKMATUL HAYATI
KELAS : XI – BAHASA 1
MA. TARMUS DASAN MALANG
2017
KATA PENGANTAR
Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena
limpahan rahmat-Nya kami diberi kesehatan, sehingga kami dapat menyelesaikan
makalah yang menjadi tugas Matematika.
Makalah yang berjudul Peluang merupakan aplikasi dari kami.
Selain untuk memenuhi tugas tersebut juga untuk memberikan pengetahuan tentang
Peluang.
Kami berharap makalah ini dapat bermanfaat dan memberi
gambaran ataupun menjadi referensi kita dalam mengenal dan mempelajari
Peluang.
Dalam makalah ini kami menyadari masih jauh dari
kesempurnaan, untuk itu segala saran dan kritik guna perbaikan dan kesempurnaan
sangat kami nantikan.
Kami berharap makalah ini dapat bermanfaat dan memberi
gambaran ataupun menjadi referensi kita dalam mengenal dan mempelajaari tentang
peluang.dalam makalah ini kami menyadari masih jauh dari kesempurnaan, untuk
itu segala saran dan kritik guna perbaikan dan kesempurnaan sangat kami
nantikan.
Semoga makaalah ini dapaat bermanfaat khususnya bagi
penyusun dan para pembaca pada umumnya.
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR..................................................................................
DAFTAR ISI.................................................................................................
BAB I PENDAHULUAN.............................................................................
A. Latar Belakang masalah.......................................................................
B. Tujuan Penulisan..................................................................................
C. Ruang Lingkup....................................................................................
BAB II PEMBAHASAN.............................................................................
A. Pengertian Peluang ..............................................................................
B. Percobaan dan Hasil dari Suatu
Percobaan..........................................
C. Ruang Sampel dan Titik Sampel...........................................................
D. Peluang Suatu Kejadian.......................................................................
E. Teknik Menghitung..............................................................................
BAB III PENUTUP .....................................................................................
A. Kesimpulan ........................................................................................
B. Saran .................................................................................................
DAFTAR PUSTAKA....................................................................................
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Hitung peluang mula-mula dikenal
pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang
(kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika
dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat
menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini.
Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil
keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang.
B.
Tujuan
Penulisan
1. Untuk memenuhi tugas matematika
yaitu tentang peluang.
2. Sebagai media belajar mahasiswa yang
memberikan banyak latihan yang dapat menunjang belajar mahasiswa.
3. Diharapkan mahasiswa memiliki
kemampuan dalam menjelaskan konsep-konsep dalam peluang dan dapat menyelesaikan
masalah tentang peluang.
C.
Ruang
Lingkup
Membahas
materi tentang peluang yang sesuai dengan materi dalam standar isi.
BAB II
PEMBAHASAN
A.
Pengertian Peluang
Peluang merupakan bagian matematika
yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang akan muncul atau tidak
munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Oleh karena itu, untuk mendiskusikan
dimulai dengan suatu pengamatan tersebut dinamakan suatu percobaan. Hasil dari
suatu percobaan dinamakan hasil (outcomes) atau titik sampel. Peluang disebut
juga probabilitas yang berarti ilmu kemungkinan.
Peluang semata-mata adalah suatu
cara untuk menyatakan kesempatan terjadinya suatu peristiwa. Secara kualitatif
peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan
terjadinya suatu keadaan seperti “baik”, “lemah”, “kuat”, “miskin”, “sedikit”
dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai
numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama
dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama
dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi.
Peluang disebut juga probabilitas
yang berarti ilmu kemungkinan.
Di dalam peluang dikenal ruang
sampel dan titik sampel.
Ruang sampel adalah himpunan yang
berisi semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel biasa
dinotasikan dengan S.
Contoh 1.1
Suatu percobaan melempar satu mata
uang logam . Ruang sampelnya adalah S=(B,D)
Contoh 1.2
Suatu percobaan mengambil satu buah
kartu dari enam buah kartu yang diberi nomor 1 sampai dengan 6. Ruang sampelnya
adalah S=(1,2,3,4,,5,6).
B. Percobaan Dan Hasil Dari Suatu Percobaan
Contoh 2.1
Percobaan melempar satu mata uang
logam (Rp500,00-an).
Hasil yang mungkin :
1.
Tampak
sisi belakang (B) , yaitu nilai Rp500,00
2.
Tampak
sisi depan (D) , yaitu gambar burung garuda
Contoh 2.2
Percobaan melempar satu mata dadu.
Hasil yang mungkin : sisi-sisi dadu
yang menunjukkan jumlah bulatan 1, 2, 3, 4, 5, atau 6
Contoh 2.3
Dalam
menjalani kehidupan sehari-hari, secara sengaja atau tidak manusia juga
melakukan percobaan. Misalnya nenek yang menunggu kelahiran cucunya tanpa sadar
melakukan suatu percobaan. Nenek tersebut melakukan suatu pengamatan, cucunya
akan lahir laki-laki atau perempuan.
C. Ruang Sampel Dan Titik Sampel
Ruang sampel adalah himpunan semua
hasil/kejadian yang mungkin terjadi dan dilambangkan dengan S. Di dalam
peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel.
Contoh 1.1
Suatu percobaan melempar satu mata
uang logam . ruang sampelnya adalah S=(B,D)
Contoh 1.2
Suatu percobaan mengambil satu buah kartu dari enam buah
kartu yang diberi nomor 1 sampai dengan 6. Ruang sampelnya adalah S=(1,2,3,4,,5,6).
Pengetosan Dua Mata Uang
|
A
|
G
|
|
|
A
|
(A,A)
|
(A,G)
|
|
G
|
(G,A)
|
(G,G)
|
Banyak titik sampel : 2x2 = 4
Pengetosan Dua Dadu
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
1
|
(1,1)
|
(1,2)
|
(1,3)
|
(1,4)
|
(1,5)
|
(1,6)
|
|
2
|
(2,1)
|
(2,2)
|
(2,3)
|
(2,4)
|
(2,5)
|
(2,6)
|
|
3
|
(3,1)
|
(3,2)
|
(3,3)
|
(3,4)
|
(3,5)
|
(3,6)
|
|
4
|
(4,1)
|
(4,2)
|
(4,3)
|
(4,4)
|
(4,5)
|
(4,6)
|
|
5
|
(5,1)
|
(5,2)
|
(5,3)
|
(5,4)
|
(5,5)
|
(5,6)
|
|
6
|
(6,1)
|
(6,2)
|
(6,3)
|
(6,4)
|
(6,5)
|
(6,6)
|
Banyak titik sampel = 6x6 = 36
Pengetosan Mata Uang dan Dadu
Pengetosan Mata Uang dan Dadu
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
A
|
(A,1)
|
(A,2)
|
(A,3)
|
(A,4)
|
(A,5)
|
(A,6)
|
|
G
|
(G,1)
|
(G,2)
|
(G,3)
|
(G,4)
|
(G,5)
|
(G,6)
|
Banyak titik sampel = 2x6 = 12
D. Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n
hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari
hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang
kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus
Contoh
:
Pada percobaan pelemparan sebuah
dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka
n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul
bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3
Misalnya S mewakili suatu
ruang sampel dengan n(s) banyaknya hasil yang mungkin yang mempunyai kesempatan
sama untuk muncul dan misal A suatu kejadian pada ruang sampel S yang
berisi n(A) hasil. Peluang kejadian A didefinisikan :
Peluang (P) =Banyak kejadian muncul/Banyak
kejadian yang mungkin
Contoh: P=400/1200 = 1/3
Contoh: P=400/1200 = 1/3
Komplemen dari nilai di atas =
1200-400:1200
=
800/1200
=
2/3
Frekuensi
nisbi = Banyak Kejadian Muncul/Banyak percobaan
Frekuensi
harapan = Banyak percobaan x Peluang
1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur
yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin
dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur
dari n unsur ditulis atau.
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi
Dengan penulisan nPk, hitung 10P4.
Kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10, 9, 8, 7.
Jadi 10P4 = 10x9x8x7, berapa itu? Hitung sendiri.
Contoh permutasi siklis :
Suatu keluarga yang terdiri atas 6
orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa
banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang
berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat
duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak
permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :
2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur
dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu
himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk
Setiap himpunan bagian dengan k
unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari
n yang dilambangkan dengan :
Contoh :
Diketahui himpunan. Tentukan banyak
himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :
Banyak himpunan bagian dari A yang
memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).
Cara cepat mengerjakan soal
kombinasi
Dengan penulisan nCk, hitung 10C4 kita
langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi
4.3.2.1 jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? Hitung sendiri.
3) Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian
pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian
terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol
dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian
pasti.
4) Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada
frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan
kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).
Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali,
berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = {
1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya
mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
5)
Peluang
Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel
dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k
dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga
Jadi, jika peluang hasil dari suatu
percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).
6) Peluang Kejadian Majemuk
a.
Gabungan
Dua Kejadian
Untuk
setiap kejadian A dan B berlaku :
b.
Kejadian-kejadian
Saling Lepas
E. Teknik Menghitung
Contoh (1) :
Pada lomba lari cepat 100 meter,
empat orang lolos keputaran akhir, yaitu Adri (A), firdaus (F), Ilham (I), dan
Wahyu (W). Pada pertandingan itu tersedia dua hadiah. Beberapa macam susunan
pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan ?
Penyelesaian :
Pada putaran akhir yaitu
pertandingan ada 4 kemungkinan pengisian pemenang pertama, yaitu A, F, I, atau
W. Setelah salah satu mereka ini mencapai garis akhir, pelari berikutnya adalah
salah satu dari tiga pelari yang tidak berhasil menjadi juara pertama. Apa saja
susunan pemenang pertama dan kedua yang mungkin, untuk lebih jelasnya dapat
disusun dalam diagram pohon.
Dari diagram pohon tersebut dapat
ditemukan hasil : 4 × (4 – 1) = 12 susunan pemenang yang mungkin yaitu {AF, AL,
AW, FA, FI, FW, IA, IF, W, WA, WF, WI}. Huruf pertama adalah peserta yang
menempati juara pertama dan huruf kedua adalah peserta yang menempati juara
kedua.
Contoh-contoh yang diberikan,
mengarah pada suatu prinsip yang disebut prinsip dasar menghitung, yaitu
berikut ini.
a.
Jika
dua percobaan yang dilakukan secara berurutan dengan hasil yang mungkin dari
percobaan pertama dan hasil yang mungkin dari percobaan kedua maka ada × kombinasi hasil dari percobaan
pertama dan kedua.
b.
Secara
sama, jika k percobaan dilakukan berurutan, dengan banyaknya hasil yang mungkin
dari tiap-tiap percobaan berturut-turut adalah , , ..., maka ada (×) hasil yang mungkin dari percobaan-percobaan
yang dilakukan tersebut.
Jadi, jika pada taraf pertama suatu
pekerjaan dapat diselesaikan dengan n cara, taraf kedua dengan n cara, dan
seterusnya sampai taraf terakhir dapat diselesaikan dengan z cara maka cara
keseluruhan pekerjaan dapat diselesaikan dengan (m.n..z) cara. Prinsip dasar
menghitung ini sangat menolong dalam menyelesaikan soal-soal peluang.
Contoh (2) :
Ada 5 buah kartu yang diberi nomor
1, 2, 3, 4, dan 5 ditempat dalam kotak. Dari kartu-kartu tersebut akan dibentuk
bilangan yang terdiri dari 2 angka. Untuk itu dilakukan dua percobaan, yaitu
pertama mengambil Satu buah kartu dari dalam kotak lalu ditempatkan ditempat
satuan pada bilangan yang akan dibentuk, dan percobaan kedua mengambil kartu
kedua lalu ditempatkan ditempat puluhan. Jelas bahwa kartu pertama yang diambil
tidak dikembalikan lagi kedalam kotak sebelum pengambilan kartu kedua, dari
percobaan ini, berapa peluang bilangan yang terbentuk adalah bilangan genap ?
Penyelesaian :
Dengan prinsip dasar menghitung, ada 5 cara pengambilan
kartu pertama dan 4 cara pengambilan kartu kedua. Jadi banyak bilangan
seluruhnya yangg dapat terbentuk : 5 × 4 = 20. Angka ini merupakan banyaknya
ruang sampel, jadi n(S) = 20. Sementara itu, ciri-ciri bilangan genap angka
satunyahabis dibagi 2.
Angka-angka
yang menemui syarat itu adalah 2 dan 4.
Maka, untuk menghasilkan bilangan
genap, ada 2 cara pengambilan kartu pertama, dan ada 4 cara pengambilan kartu
kedua. Jadi, banyak bilangan genap yang dapat dibentuk
BAB III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
a.
Di
dalam makalah ini kita dapat mempelajari matematika tentang peluang. Pada bab
peluang, materinya meliputi kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, ekspansi
binominal, ruang sampel, peluang, frekuensi harapan, komplemen dan kejadian
majemuk.
b.
Peluang
merupakan bagian matematika yang membahas pengukuran tingkat keyakinan orang
akan muncul atau tidak munculnya suatu kejadian atau peristiwa. Ruang sampel
adalah himpunan semua hasil/kejadian yang mungkin terjadi dan dilambangkan
dengan S. Di dalam peluang dikenal ruang sampel dan titik sampel.
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu.
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya.
c.
Sifat-sifat
peluang, misalnya S suatu ruang sampel dan A suatu kejadian pada ruang sampel
S.
d.
Jika
A = Ø maka P (A) = O
e.
Nilai
peluang kejadian A, yaitu P (A) berkisar dari O sampai 1 (O ≤ P (A)
≤ 1).
f.
Jika
S ruang sampel maka P (S) = 1.
B.
Saran
Dalam peluang yang memiliki pengertian himpunan kemungkinan
hasil dari suatu percobaan. Pastinya perhitungan matematika dengan menggunakan
peluang digunakan manusia dalam kehidupan sehari-hari dimana kita sering
dihadapkan pada suatu pertanyaan yang tidak diketahui jawabannya tetapi harus
dijawab mungkin atau tidak mungkin. Saran kami peluang itu tidak harus
digunakan dalam kegiatan sehari-hari karena perhitungan menggunakan peluang
cukup rumit. Dan sebagian besar disekitar kita juga ada yang tidak bisa
menghitung. Jadi dalam mengetahui sesuatu hal bukan hanya bisa menggunakan
perhitungan peluang saja tetapi bisa juga dengan praktik.
DAFTAR
PUSTAKA
http://maron11materikuliah.blogspot.co.id/2014/01/makalah-peluang-matematika.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar