MAKALAH BARISAN DAN DERET 2

BAB I

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

Matematika adalah salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interkasinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti ekonomi dan teknologi. Peran matematika dalam interaksi ini terletak pada struktur ilmu dan perlatan yang digunakan. Ilmu matematika sekarang ini masih banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti bidang industri, asuransi, ekonomi, pertanian, dan di banyak bidang sosial maupun teknik. Mengingat peranan matematika yang semakin besar dalam tahun-tahun mendatang, tentunya banyak sarjana matematika yang sangat dibutuhkan yang sangat terampil, andal, kompeten, dan berwawasan luas, baik di dalam disiplin ilmunya sendiri maupun dalam disiplin ilmu lainnya yang saling menunjang. Untuk menjadi sarjana matematika tidaklah mudah, harus benar-benar serius dalam belajar, selain harus belajar matematika, kita juga harus mempelajari bidang-bidang ilmu lainnya. Sehingga, jika sudah menjadi sarjana matematika yang dalam segala bidang bisa maka sangat mudah untuk mencari pekerjaan.

B.     Rumusan Masalah

Uraikan apa yang kamu ketahui tentang Deret dan Barisan  ?

C.     Tujuan

Menguraikan Deret dan Barisan

BAB II

MATERI POKOK

A.     BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Barisan adalah suatu bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Sedangkan deret adalah jumlah dari bilangan.

1.      Barisan dan Deret Aritmetika

Pengertian

Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Harga yang tetap ini dinamakan beda. Suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b adalah

a,a + b,a + 2b,a + 3b, dan seterusnya.

Dengan memperhatikan pola keberaturan empat suku pertama,

Suku pertama = u1= a = a + ( 1 – 1 )b

Suku kedua = u 2 = a + b = a + ( 2 – 1 )b

Suku ketiga = u 3 = a + 2b = a + ( 3 – 1 )b

Suku keempat = u 3 = a + 2b = a + ( 4 – 1 )b

Maka suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah

u n = a + ( n – 1 )b

Contoh Soal :

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika. Jika barisan aritmetikanya adalah u1 , u 2 , ….., u n , maka deret aritmetikanya adalah:

n

k=1

S n = ∑ U_k =  u1+ u 2 + …..+ u n

Suku ke-n dan jumlah suku n suku pertama deret aritmetika

Pada deret aritmetika u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u1= a dan beda deret = b, maka suku ke-n deret ini adalah u n = a + ( n – 1 )b dan jumlah n suku pertamanya adalah

S n = u1+ u 2 + …..+ u n = ½ n ( u₁+ u_n )=1/2 n (2a + (n-1)b)

Contoh Soal :

1.      Diketahui barisan aritmatika  : -3 , 2 , 7 , 12 , ....

Tentukan :

a). Suku ke-8

b). Suku ke-20

Jawab :

a = -3

b = 5

U_n = a + (n-1).b          U₂₀ = -3 + (20-1).5

U₈ = -3 + (8-1).5           = -3 + 19.5

       = -3 + 7.5               = 92

      =  32                           

2.      Diketahui suatu deret aritmatika : 3, 7, 11, 15, ...., hitung beda dan suku ke-7 dari contoh deret tersebut?

    Jawab:

    Dik :

    deret : 3,7 , 11, 15, ...

    Ditanya : b dan U7 ?

    Penyelesaian :

    b = 7-3 = 11-7 = 4

    Un = a + (n-1) b

          = 3 + (7-1) 4

          = 3 + (6).4

          = 3 + 24

          = 27

    Jadi beda adalah 4 dan Suku ke-7 adalah 27.

2.      Barisan dan Deret Geometri

Pengertian

Barisan geometri adalah suatu barisan yang mempunyai pola keberaturan hasil bagi dua suku berturutan tetap harganya. Harga yang tetap ini dinamakan rasio. Suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah a, ar, ar ² , ar ³ , dan seterusnya dengan memperhatikan pola keberaturan empat suku pertamanya. Suku pertama = u 1= a = ar 0= ar 1−1,

Suku kedua = u 2 = ar = ar 2−1

Suku ketiga = u 3 = ar 2 = ar 3−1

Suku keempat = u 4 = ar 3 = ar 4−1

maka suku ke-n suatu barisan geometri adalah

u n = ar n−1

deret geometri adalah jumlah suku-suku barisan geometri. Jika barisan geometrinya adalah :

n

k=1

S n = ∑ U_k =  u1+ u 2 + …..+ u n

Suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret geometri

Pada deret geometri u 1+ u 2 + …..+ u n dengan suku pertama = u 1= a dan rasio deret = r , dengan r _ 1, maka suku ke-n deret ini adalah u n = ar n−1 dan jumlah n suku pertamanya adalah S n = u1+ u 2 + …..+ u n = a + ar + ar 2 + …..+ ar n−1 = a .1- rⁿ 1 – r

Contoh Soal :

1.      Carilah suku ke 8 dari barisan di bawah ini !
a) 2,4,8,16,32,...    b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...

2.      Diketahui barisan geometri dengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 suku pertama deret tersebut?

Penyelesaian :
1. a) U1 = 4                U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27  =  2 . 128 = 256
        U2 = 2
        r = U2 : U1
          = 4 : 2
          = 2
    b) U2 = 1                  U8 = U1 . r8-1 = 2 . (1/2)7 =  2 x 1/128 = 1/64
        U1 = 2
         r = U2 : U1
           = 1 : 2
           = 1/2
2. U3 = a .  r3-1   = a . r2 = 27                          27 = U1 . (3)3-1
    U5 = a .  r5-1   = a . r4 = 243                        27 = U1 . 32
                                                                       27 = U1 . 9
   U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27             

           r2 = 9                                                           

           U1 = 27 : 9 = 3
           r = 3
    S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092

B.     BARISAN DAN DERET GEOMETRI

1.      Pengertian Dan Rumus Barisan Geometri

Barisan Geometri dapat didefinisikan sebagai barisan yang tiap-tiap sukunya didapatkan dari hasil perkalian suku sebelumnya dengan sebuah konstanta tertentu

Contoh Barisan Geometri

Untuk lebih memahami apa yang dimaksud dengan barisan geometri perhatikan contoh berikut:

3, 9, 27 , 81, 243, ...

Barisan di atas adalah contoh barisan geometri dimana setiap suku pada barisan tersebut merupakan hasil dari perkalian suku sebelumnya dengan konstanta 3. maka bisa disimpulkan bahwa rasio pada barisan di atas adalah 3. rasio pada suatu barisan dapat dirumuskan menjadi:

r = a_k+1/a_k

Dimana a_k adalah sembarang suku dari barisan geometri yang ada. sementaraa_k+1 adalah suku selanjutnya setelah a_k.untuk menentukan suku ke-n dari sebuah barisan geometri, kita dapat menggunakan rumus : U_n = ar^n-1

Dimana a merupakan suku awal dan r adalah nilai rasio dari sebuah barisan geometri.

Mari kita pelajari penggunaan rumus-rumus barisan geometri di atas dalam menyelesaikan soal:

Contoh Soal dan Pembahasan Barisan Geometri

Contoh Soal 1

Sebuah Bakteri mampu melakukan pembelahan diri menjadi 4 setiap 12 menit. berapakah jumlah bakteri yang ada setelah 1 jam apabila sebelumnya terdapat 3 buah bakteri?

Penyelesaian:

a = 3

r = 4

n = 1 jam/12 menit = 60/12 = 5

Masukkan ke dalam rumus:

U_n = ar^n-1

U₅ = 3 x 4^5-1

U₅ = 3 x 256 = 768 bakteri

2.      Pengertian dan Rumus deret Geometri

Deret geometri dapat diartikan sebagai jumlah dari n suku pertama pada sebuah barisan geometri. apabila suku ke-n dari suatu barisan geometri digambarkan dengan rumus: a_n = a₁r^n-1, maka deret geometrinya dapat dijabarkan menjadi:

S_n = a₁ + a₁r + a₁r² + a₁r³ + ... + a₁r^n-1

Apabila kita mengalikan deret geometri di atas dengan -r, lalu kita jumlahkan hasilnya dengan deret aslinya, maka kita akan memperoleh:

Setelah diperoleh S_n - rS_n = a₁ - a₁rⁿ maka kita dapat mengetahui nilai dari suku n pertama dengan cara berikut ini:

Berdasarkan kepada hasil perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa rumus jumlan n suku pertama pada sebuah barisan geometri adalah:

Perhatikan cara menggunakan rumus tersebut pada contoh soal di bawah ini:

Contoh Soal Deret Geometri

Contoh Soal 2

Tentukanlah jumlah 8 suku pertama dari barisan geometri 2, 8, 32, ...

Pembahasan:

a = 2

r = 4

n = 8

Sn = a  (1-rⁿ) / (1-r)

Sn = 2  (1-4⁸) / (1-4)

Sn = 2  (1-65536)/ (-3)

Sn = 2  (-65535)/ (-3)

Sn = 2 x 21845

Sn = 43690

BAB III

PENUTUP

A.     Kesimpulan

Faktor terpenting dalam adalah memahami konsep dan definisi materi itu sendiri dan juga bagiannya.

B.     Saran

Untuk meningkatkan prestasi belajar siswa perlu dikembangkan pendekatan pembelajaran yang dapat mengaktifkan siswa, mengkondisikan siswa sehingga dapat mengkonstruksi sendiri pengetahuannya dan menggunakan modelmodel yang dikembangkan sendiri oleh siswa.Namun demikian dalam implementasinya di sekolah tidaklah mudah, sehingga perlu kerja keras para guru dan siswa. Keberhasilan implementasi tergantung pada kemampuan guru untuk membuat suatu iklim dimana siswa mau mencoba berpikir dengan cara baru dan mengkomunikasikannya dengan orang lain.

DAFTAR PUSTAKA

Rahmat, et al. (2006). Belajar Matematika dengan Orientasi Penemuan dan Pemecahan Masalah. Bandung: Sarana Pancakarya.

Ruseffendi. (1992). Pendidikan Matematika 3. Jakarta: Depdikbud

Sinaga, M. et al. (2006). Terampil Berhitung Matematika untuk SD Kelas IV. Jakarta: Erlangga

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Alhamdulillah.. Puji syukur kehadirat Allah SWT. atas segala rahmat dan hidayah-Nya. Segala pujian hanya layak kita aturkan kepada Allah SWT. Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta petunjuk-Nya yang sungguh tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah yang penulis beri judul ”BARISAN dan DERET”.

Dalam penyusuna makalah ini, penulis mendapat banyak bantuan dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan rasa berterimakasih yang sebesar-besarnya kepada mereka, kedua orang tua dan segenap keluarga besar penulis yang telah memberikan dukungan, moril, dan kepercayaan yang sangat berarti bagi penulis.

Berkat dukungan mereka semua kesuksesan ini dimulai, dan semoga semua ini bisa memberikan sebuah nilai kebahagiaan dan menjadi bahan tuntunan kearah yang lebih baik lagi. Penulis tentunya berharap isi makalah ini tidak meninggalkan celah, berupa kekurangan atau kesalahan, namun kemungkinan akan selalu tersisa kekurangan yang tidak disadari oleh penulis.

Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar makalah ini dapat menjadi lebih baik lagi. Akhir kata, penulis mengharapkan agar makalah ini bermanfaat bagi semua pembaca.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb.

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

B.     Rumusan Masalah

C.     Tujuan

BAB II MATERI POKOK

A.     BARISAN dan DERET ARITMATIKA

B.     BARISAN dan DERET GEOMETRI

BAB III PENUTUP

A.     Kesimpulan

B.     Saran

DAFTAR PUSTAKA

MAKALAH

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS

NAMA : USWATUN HASANAH

KELAS : 1 C

FAKULTAS EKONOMI

JURUSAN AKUNTASI

UNIVERSITAS GUNUNG RINJANI (UGR)

TP. 2016/2017